Montrer que si \(E\) est de dimension finie, alors $$\operatorname{dim} E=\operatorname{dim}\ker f+\operatorname{Rg} f$$ (théorème du rang)

\(E\) est de dimension finie \(\Rightarrow\) \(f\) est de dimension finie

\(\operatorname{Im}f\) est de dimension finie
\({\mathcal B}=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}\) est une base de \(E\) \(\Rightarrow\) \(\{f(e_1),\ldots,f(e_n)\}\) est une partie génératrice de \(\operatorname{Im} f\), donc \(\operatorname{Im}f\) est aussi de dimension finie

Disjonction des cas : si \(\operatorname{dim}\ker f=\operatorname{dim} E\)
$$\begin{align}\operatorname{dim}\ker f=\operatorname{dim} E&\implies\ker f=E\\ &\implies\forall x\in E,f(x)=0_F\end{align}$$

\(\implies\operatorname{Im}f=\{0_F\}\), donc l'égalité est vraie pour \(\operatorname{dim}\ker f=\operatorname{dim} E\)

Si \(0\lt \operatorname{dim}\ker f\lt \operatorname{dim} E\), théorème de la base incomplète avec une base de \(\ker f\)
Soit \(\{u_1,\ldots,u_p\}\) une base de \(\ker f\). Comme \(\{u_1,\ldots,u_p\}\) est une famille libre de vecteurs de \(E\), d'après le théorème de la base incomplète, \(\exists\{u_{p+1},\ldots,u_n\}\) tq \(\{u_1,\ldots,u_n\}\) est une base de \(E\)

Ppt d'une famille génératrice
On a donc une famille génératrice, et donc : $$\operatorname{Im}f=\operatorname{Vect}\left\{f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_p),f(u_{p+1}),\ldots,f(u_n)\right\}$$

Ppt des vecteurs de \(\ker f\) : on peut les sortir de \(\operatorname{Im}f\)
Or, \(f(u_1)=f(u_2)=\cdots=f(u_p)=0_F\) car \(u_i\in\ker f\). Ainsi $$\operatorname{Im}f=\operatorname{Vect}\left\{f(u_{p+1}),\ldots,f(u_n)\right\}$$

Utiliser le fait que \(\operatorname{Vect}\{u_1,\ldots,u_n\}\) soit une base
Soient \(\lambda_{p+1},\ldots\lambda_n\in{\Bbb R}\) tq $$\lambda_{p+1}f(u_{p+1})+\cdots+\lambda_nf(u_n)=0_F$$ alors, par linéarité de \(F\), $$f(\lambda_{p+1}u_{p+1}+\cdots+\lambda_nu_n)=0_F$$d'où \(\lambda_{p+1}u_{p+1}+\cdots+\lambda_nu_n\in\ker f\)

En se rapportant à la base \(\{u_1,\ldots,u_n\}\), on obtient que les \(\lambda_i\) sont nuls
On obtient donc que \(\exists\gamma_1,\ldots,\gamma_p\in{\Bbb R}\) tq $$\begin{align}&\lambda_{p+1}u_{p+1}+\cdots+\lambda_nu_n=\gamma_1u_1+\cdots+\gamma_pu_p\\ \implies&\gamma_1u_1+\cdots+\gamma_pu_p-\lambda_{p+1}u_{p+1}-\cdots-\lambda_nu_n=0_E\end{align}$$ d'où \(\lambda_{p+1}=\cdots=\lambda_n=0\) (car \(\{u_1,\ldots,u_n\}\) est une base)

Pour \(\operatorname{dim}\ker f=0\), on se rapporte au cas précédent

Si \(\operatorname{dim}\ker f=0\), alors \(\ker f=\{0_E\}\), on se rapporte au cas précédent en partant d'une base \(\{u_1,\ldots,u_n\}\) de \(E\) et en montrant que \(\{f(u_1),\ldots,f(u_n)\}\) est une base de \(\operatorname{Im}f\)

(Espace vectoriel de dimension finie, Famille génératrice, Famille libre - Famille linéairement indépendante, Théorème de la base incomplète, Famille génératrice, Fonction linéaire)